Міністерство освіти України, Державний університет “Львівська політехніка”
Кафедра вищої математики
1999 р.

Робоча програма з дисципліни Математичний аналіз
для базового напрямку № 6.0922 “Електромеханіка”

Коли читається: 1 курс, 1 і 2 семестр.

Скільки годин: 297(всього) = 96(лекцій) + 64(практичних занять) + 129(самостійна робота) + 8(Проведення МК) год.

Звітність: екзамен у першому та другому семестрах

Зміст:

# 1. Мета та завдання дисципліни, її місце у навчальному процесі.
# 1.1. Мета викладання дисципліни.
# 1.2. Завдання вивчення дисципліни.
# 1.3. Перелік дисциплін, знання яких необхідне для вивчення курсу.
# 2. Зміст дисципліни.
# 2.1. Лекції.
# 2.2. Практичні заняття.
# 2.3. Самостійна робота.
# Теми індивідуальних графічно-розрахункових робіт.
# 3. Навчально-методична література.
#
3.1. Література до теоретичного курсу.
# 3.2. Література до практичних занять.
# 3.3. Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи студентів, видані кафедрою вищої математики.


1. Мета та завдання дисципліни, її місце у навчальному процесі.

1.1. Мета викладання дисципліни.

1.2. Завдання вивчення дисципліни.

1.3. Перелік дисциплін, знання яких необхідне для вивчення курсу.

Алгебра та початки аналізу, геометрія за середню школу.
Лінійна алгебра та аналітична геометрія.


Математичний аналіз.

2.1. Лекції – 96 годин

Назви тем та розділів

Години

I семестр

48 год.
 

Перший модуль

1 Вступ до математичного аналізу.
Числові множини. Логічні символи. Поняття дійсного числа. Абсолютна величина. Види величин, характеристики змінних величин. Поняття функції. Способи задання функції. Складна функція. Основні характеристики поведінки функції. Класифікація функцій. Огляд найпростіших елементарних функцій.
Графічне вивчення функції. Полярна система координат. Побудова графіків функцій в полярній системі координат.
Границя посліовності. Границя функції. Нескінченно малі та нескінченно великі величини, зв"язок між ними.
Границя суми, добутку та частки функцій. Властивостя границь функцій. Важливі границі. Порівняння нескінченно малих.
Неперервність функції в точці. Точки розриву, їх класифікація.
Неперервність суми, добутку, частки. Неперервність складної та оберненої функцій. Стійкість знаку. Неперервність функції на відрізку. Властивості: обмеженість, існування найбільшого та найменшого значень, існування проміжкових значень.
10 год.

 

 
2 Диференціальне числення функції однієї змінної.
Задачі, що приводять до поняття похідної. Визначення похідної. Геометричний зміст похідної. Теорема про неперервність функції, яка має похідну. Похідна суми, добутку, частки. Похідна складної функції. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій. Таблиця похідних. Диференціал функції. Властивості диференціала. Геометричний зміст диференціала. Застосування диференціала до наближених обчислень. Оцінка похибки. Похідні та диференціали вищих порядків. Неінваріантність форми диференціала порядку . Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа. Представлення функцій за формулою Тейлора.

Монотонність функції, умови монотонності функції. Екстремум функції. Необхідна умова екстремуму функції. Перша та друга достатні умови існування екстремуму. Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервних на відрізку функцій. Опуклість та вгнутість графіка функцій. Точки перегину. Асимптоти кривих. Загальний план дослідження функції та побудова її графіка. Диференціал довжини дуги кривої.
14 год.
 

Другий модуль

3. Комплексна функція дійсної змінної. Елементи вищої алгебри.
Комплексні числа, дії над ними. Геометрична інтерпритація комплексного числа. Модуль та аргумент. Тригонометрична форма комплексного числа. Формула Ейлера. Показникова форма комплексного числа. Формула Муавра. Добування кореня. Комплексна функція дійсної змінної, її диференціювання. Многочлени, теорема про тотожню рівність двох многочленів. Корені многочлена. Теорема Безу. Основна теорема алгебри. Розклад многочлена з дійсними коефіцієнтами на лінійні та квадратичні множники.
4 год.
4. Інтегральне числення функції однієї змінної.
Первісна, її властивості. Невизначений інтеграл, його властивості. Таблиця основних інтегралів. Безпосереднє інтегрування. Інтегрування по частинах та методом заміни змінної.
Інтегрування дробово-раціональної функції шляхом розкладу на прості дроби. Інтегрування деяких ірраціональних функцій. Інтегрування диференціального біному. Інтегрування виразів, що місять тригонометричні функції. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Означення та властивості інт.
Похідна інтеграла по верхній змінній межі. Формула Ньютона-Лейбніца. Заміна змінної та інтегрування по частинах. Невластиві інтеграли з нескінченними межами і невластиві інтеграли від необмежених функцій. Теореми порівняння. Абсолютна та умовна збіжності. Ознаки збіжності.
Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур в декартових та полярних координатах. Обчислення довжини дуги кривої, об”ємів тіл і площі поверхні тіл обертання.
20 год.

II семестр

48 год.

Перший модуль

 
5. Диференціальне числення функцій декількох змінних.
Поняття функції декількох змінних. Область визначення. Границя функції, неперервність. Частинні похідні. Повний диференціал. Достатні умови диференційовності. Застосування повного диференціала до наближених обчислень. Геометричний зміст повного диференціала функції. Дотична площина та нормаль до поверхні. Диференціювання складних та неявних функцій. Інваріантність форми повного диференціала. Частинні похідні та повні диференціали вищих порядків. Формула Тейлора для функції декількох змінних: означення, необхідні та достатні умови. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.
12 год.
6. Елементи теорії поля.
Скалярне поле. Поверхні рівня. Векторне поле. Векторні лінії та векторні трубки. Диференціальні характеристики скалярного поля: похідна за напрямком, градієнт. Диференціальні характеристики векторного поля: дивергенція, ротор. Оператор Гамільтона. Диференціальні операції другого порядку. Оператор Лапласа. Задача, що приводить до інтегральних характеристик скалярного поля. Криволінійний інтеграл по довжині дуги, подвійний, потрійний інтеграли, інтеграл по площі поверхні: означення, властивості, обчислення та застосування. Задачі, що приводять до інтегральних характеристик векторного поля. Криволінійний інтеграл по координатах, поверхневий інтеграл по координатах: означення, властивості, обчислення та застосування.
Формули Гріна, Остроградського та Стокса в координатній формі, їх фізичний зміст
.
Потенціальне поле. Умова потенціальності поля. Потенціал поля. Соленоїдальне поле.
24 год.
7. Числові ряди.
Основні поняття та означення. Необхідна умова збіжності. Достатні умови збіжності числових рядів з додатніми членами. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку знакочергувального ряду. Ряди з комплексними числами.
6 год.
8. Функціональні та степеневі ряди.
Функціональний ряд, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштрасса. Неперервність суми, почленне інтегрування та диференціювання. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус та інтервал збіжності. Рівномірна збіжність. Основні властивості степеневих рядів. Ряд Тейлора. Розвинення елементарних функцій у степеневі ряди. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення.
6 год.

2.2. Практичні заняття – 64 годин.

Назви тем та розділів

Години

Перший семестр

32 год.
1. Вступ до аналізу.
Елементарні функції, їх графіки. Обчислення границь послідовностей. Важливі границі. Обчислення границь функцій. Неперервність функції. Точки розриву.
5 год.
2. Диференціальне числення функції однієї змінної.
Техніка диференціювання. Диференціал функції, застосування. Похідні та диференціали вищих порядків. Правило Лопіталя. Формула Тейлора. Дослідження функцій на екстремум. Дослідження функцій на опуклість. Точки перегину. Асимптоти. Побудова графіків функцій. Диференціал довжини дуги кривої. Кривина кривої.
7 год.
3. Комплексна функція дійсної змінної. Елементи вищої алгебри.
Диференціювання векторних функцій. Диференціювання параметрично заданих функцій. Комплексні числа, дії над ними.
2 год.
4. Інтегральне числення функції однієї змінної.
Найпростіші способи інтегрування. Заміна змінної в невизначеному інтегралі. Інтегрування частинами. Розклад дробово-раціональної функції на прості дроби. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування ірраціональних виразів. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Формула Ньютона-Лейбніца Обчислення визначеного інтеграла: заміна змінної, інтегрування частинами. Невластиві інтеграли. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах. Обчислення довжини дуги та об”ємів тіл обертання.
18 год.

Другий семестр

32 год.
5. Диференціальне числення функцій декількох змінних.
Область визначення. Границя та неперервність. Частинні похідні. Повний диференціал функції декількох змінних. Застосування повного диференціала. Диференціювання складних і неявних функцій. Дотична площина та нормаль до поверхні. Похідні вищих порядків. Екстремум функції декількох змінних. Умовний екстремум.
7 год.
6. Елементи теорії поля.
Скалярне поле. Поверхні рівня. Векторне поле. Векторні лінії. Диференціальні характеристики скалярного поля: похідна за напрямком, градієнт. Диференціальні характеристики векторного поля: дивергенція, ротор.
Інтегральні характеристики скалярного поля: інтеграл по довжині дуги, подвійний інтеграл, потрійний інтеграл, поверхневий інтеграл по площі поверхні, їх обчислення та застосування. Інтегральні характеристики векторного поля: криволінійний інтеграл по координатах, їх обчислення. Незалежність криволінійного інтеграла від контура інтегрування. Ци ркуляція та потік векторного поля. Формула Остроградського. Теорема Стокса. Потенціальне поле. Соленоїдальне поле. Оператор Гамільтона.
19 год.
7. Числові та функціональні ряди.
Числові ряди. Збіжність, сума ряду. Ряди з доданіми членами. Ознаки збіжності. Знакочергувальні та знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність. Функціональні ряди, область збіжності. Степеневі ряди, інтервал, радіус збіжності. Розклад функції в степеневий ряд. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень.

6 год.

2.3. Самостійна робота – 129 годин.

Зміст самостійної ороботи

Години

Перший семестр

78 год.

1. Підготовка до контрольних занять (здачі модулів).

52 год.

2. Виконання індивідуальних домашніх завдань (ТР, РГР).

26 год.

 

Другий семестр

51 год.

3. Підготовка до контрольних занять (здачі модулів).

35 год.

4. Виконання індивідуальних домашніх завдань (ТР, РГР).

16 год.

 

Разом

129 год.

Теми індивідуальних графічно-розрахункових робіт.
Перший семестр:
Тема 1. “Диференціальне числення (ТР та РГР)

10 год.

Тема 2. “Інтегральне числення” (ТР та РГР)

16 год.

Другий семестр:
Тема 1. “Функції багатьох змінних” (ТР)

4 год.

Тема 2. “Кратні інтеграли”, “Криволінійні та поверхневі інтеграли” (ТР та РГР)

8 год.

Тема 3. “Ряди” (ТР та РГР)

4 год.



3. Навчально-методична література.

3.1. Література до теоретичного курсу.

  1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов.-М.: Наука, 1985.-т. 1, 2.
  2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное исчисление.-М: Наука, 1988.
  3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы Ряды. ФКП.-М: Наука, 1985.
  4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.-М: Наука, 1980.-ч. 1.; 1982.-ч. 2.
  5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.-М: “Высшая школа”, 1983.-т.1-3.
  6. Воробьев Н.Н. Теория рядов.-М.: Наука, 1986.

3.2. Література до практичних занять.

  1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., “Наука”, 1977.
  2. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под.ред. Б.П. Демидовича.-М.: Наука, 1978).
  3. Спорник задач по математике для втузов (под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича.-М.: Наука, 1986.-ч. 1,2).
  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. 2. М., “Высшая школа”, 1986.-ч. 1,2.

3.3. Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи студентів, видані кафедрою вищої математики.

  1. Вступ до математичного аналізу. Укладачі: Рудавський Ю.К., Колісник В.М., Сухорольський М.А. та інші, 1990р.
  2. Диференціальне числення функцій однієї змінної та його застосування. Укладачі: Колісник В.М., Барвінський А.Ф., Кібальнікова С.І. та інші., 1990.
  3. Інтегральне числення. Укладачі: Рудавський Ю.К., Костробій П.П., Уханська Д.В. та інші, 1990.
  4. Функції декількох змінних. Укладачі: Крушинська С.І., Волошина М.С., Дрогомижська М.С. та інші, 1990.
  5. Кратні інтеграли В.М. Колісник, Р.С. Мусій, М.А. Сухорольський та інші. 1991.
  6. Криволінійні та поверхневі інтеграли. О.А. Микитюк, І.Ф. Клюйник, М.Ф. Стасюк. 1991.
  7. Теорія поля. В.М. Колісник, С.І. Кібальнікова, Р.С. Мусій та інші. 1991.
  8. Ряди Ю.В. Дутка, І.Я. Олексів., Є.В. Черемних. 1991.
  9. Диференціальне числення. В.К. Гануліч, А.З. Мохонько, Л.П. Швець, М.І. Сорокатий. 1990.
  10. Інтегральне числення Ю.К. Рудавський, Ф.П. Луник, І.В. Мандзинець, М.І. Сорокатий. 1990.
  11. Кратні, криволійнійні та поверхневі інтеграли. Елементи теорії векторних полів. М.М. Дрогомижська, Л.М. Гринів, Н.Б. Гіссовська.
  12. Ряди. С.І. Крушинська, Л.Й. Кучмінська, О.І. Приходська, Н.Б. Гіссовська. 1985.


Програма складена канд. фіз.-мат. наук, доц. кафедри вищої математики Уханською Д.В., Костробієм П.П.

22 травня 1999 р.

записки.